Marius, 13:
Kva er dei 15 første perfekte tallene?

Alle tall som jeg skriver om her er heltall, og et positivt tall er større enn 0.

For å finne ut av dette må vi først vite noe om ekte divisorer. En ekte divisor i et tall, er et tall utenom tallet selv, som deler tallet. Det betyr at du får et heltall som svar i delestykke hvor du tar tallet og deler med den ekte divisoren.

Et perfekt tall er et tall som er summen av alle sine positive ekte divisorer.

1,2 og 3 er de positive, ekte divisorene i 6 og

1+2+3=6,

så 6 er et perfekt tall.

1,2,4,7 og 14 er de positive, ekte divisorene i 28 og

1+2+4+7+14=28,

så 28 er et perfekt tall.

Et primtall er et tall som har 1 som eneste ekte divisor. 1 er ikke primtall, men det regnes (sammen med -1) som en enhet. Du kan bygge alle heltallene fra primtall og enheter, ved å gange sammen.

I en veldig gammel matematikkbok Euklids elementer (bok IX, proposisjon 36) fins et bevis for at om 2ⁿ - 1 er et primtall (det vi idag vil kalle et Mersenne primtall) er 2^(n-1)·(2ⁿ - 1) et perfekt tall.

En matematiker som het Euler viste at disse er alle de jamne perfekte tallene (jamne tall = partall).

De 15 første Mersenne-primtallene er
2ⁿ - 1 for n=2 3 5 7 13 17 19 31 61 89 107 127 521 607 1279

De 12 første perfekte tallene kommer fra disse, siden det er vist at et odde perfekt tall må være > 10³⁰⁰
(en engelsk side som sier noe om de odde perfekte tallene finner du her: http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/richard.brent/pub/pub116.html ):

Nr. 1: 2¹·(2²-1) = 6
Nr. 2: 2²·(2³-1) = 28
Nr. 3: 2⁴·(2⁵-1) = 496
Nr. 4: 2⁶·(2⁷-1) = 8128
Nr. 5: 2¹²·(2¹³-1) = 33550336
Nr. 6: 2¹⁶·(2¹⁷-1) = 8589869056
Nr. 7: 2¹⁸·(2¹⁹-1)
Nr. 8: 2³⁰·(2³¹-1)
Nr. 9: 2⁶⁰·(2⁶¹-1)
Nr. 10: 2⁸⁸·(2⁸⁹-1)
Nr. 11: 2¹⁰⁶·(2¹⁰⁷-1)
Nr. 12: 2¹²⁶·(2¹²⁷-1)

Her kommer tallene over 10³⁰⁰

Nr. 13?: 2⁵²⁰·(2⁵²¹-1)
Nr. 14?: 2⁶⁰⁶·(2⁶⁰⁷-1)
Nr. 15?: 2¹²⁷⁸·(2¹²⁷⁹-1)

Hilsen Orakelet